Question

若矩陣A有特征向量i=（

1 0

）和j=（

0 1

），且它們所對應的特征值分別為λ₁=2，λ₂=-1．
（1）求矩陣A及其逆矩陣A^-1；
（2）求逆矩陣A^-1的特征值及特征向量；
（3）對任意向量α=（

x y

），求（（A^-1）²⁰α．

Answer 1

分析：（1）設矩陣M=

a b c d

則根據矩陣A的屬于λ₁=2的特征向量，矩陣A的屬于λ₂=-1的特征向量，則結合特征向量的定義，由此能夠求出矩陣A及其逆矩陣．
（2）根據矩陣A^-1的特征多項式求出矩陣A^-1的特征值，
（3）由于α=x

1   0

+y

0   1

，故（（A^-1）²⁰α=x

λ

20 1

1   0

+y

λ

20 2

0   1

，求出值即可．

解答：解：（1）解：設矩陣M=

a b c d

，這里a，b，c，d∈R，
則

a b c d

1   0

=2

1   0

，

a b c d

0   1

=-

0   1

，解得a=2，b=0，c=0，d=-1
∴A=

2 0 0 -1

，A^-1=

1 2 0 0 -1

（2）A^-1特征多項式f（λ）=

λ- 1 2 0 0 -1

=（λ-

1

2

）（λ+1）=0，得λ=

1

2

，或λ=-1，
當λ=

1

2

時，對應的特征向量為

1   0

；當λ=-1時，對應的特征向量為

0   1

；
（3）由α=x

1   0

+y

0   1

，
∴（（A^-1）²⁰α=x

λ

20 1

1   0

+y

λ

20 2

0   1

=

x 220   y

．

點評：本題考查矩陣的性質和應用，考查學生會利用二階矩陣的乘法法則進行運算，會求矩陣的特征值和特征向量．