Question

若矩陣A有特征向量i=（）和j=（），且它們所對應的特征值分別為λ₁=2，λ₂=-1．
（1）求矩陣A及其逆矩陣A^-1；
（2）求逆矩陣A^-1的特征值及特征向量；
（3）對任意向量α=（），求（（A^-1）²⁰α．

Answer 1

【答案】分析：（1）設矩陣M=則根據矩陣A的屬于λ₁=2的特征向量，矩陣A的屬于λ₂=-1的特征向量，則結合特征向量的定義，由此能夠求出矩陣A及其逆矩陣．
（2）根據矩陣A^-1的特征多項式求出矩陣A^-1的特征值，
（3）由于α=x+y，故（（A^-1）²⁰α=x+y，求出值即可．
解答：解：（1）解：設矩陣M=，這里a，b，c，d∈R，
則=2，
=-，解得a=2，b=0，c=0，d=-1
∴A=，A^-1=
（2）A^-1特征多項式f（λ）==（）（λ+1）=0，得λ=，或λ=-1，
當λ=時，對應的特征向量為；當λ=-1時，對應的特征向量為；
（3）由α=x+y，
∴（（A^-1）²⁰α=x+y=．
點評：本題考查矩陣的性質和應用，考查學生會利用二階矩陣的乘法法則進行運算，會求矩陣的特征值和特征向量．