Question

15、已知函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（x）=x無實根，則下列命題中：
（1）方程f[f（x）]=x一定無實根；
（2）若a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對一切實數x都成立；
（3）若a＜0，則必存在實數x₀，使得f[f（x₀）]＞x₀；
（4）若a+b+c=0，則不等式f[f（x）]＜x對一切x都成立．
其中正確命題的序號有

（1）（2）（4）

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：f[f（x）]為一個復合函數，可以把方括號里的f（x）看作為一個未知數t，t的范圍就是f（x）的值域．由此入手進行判斷，能夠得到正確答案．

解答：解：f[f（x）]為一個復合函數，可以把方括號里的f（x）看作為一個未知數t，t的范圍就是f（x）的值域．
（1）：f[f（x）]可以看為f（t），而題中f（x）=x無實根，所以方程f[f（x）]=x無實根，故（1）成立；（2）：和第一個一樣的想法，依然把方括號里的f（x）看作為一個未知數t，則外層為一個開口向上的2次函數，
且f（x）=x無實根，所以a＞0，則不等式f[f（x）]＞x對一切實數x都成立，故（2）成立；（3）：和2問同理，只不過a符號變了下，故（3）錯誤；（4）：由條件得f（1）=0，把x=1代入里面得到了一個結論為c＜1的結論，
這就說明若使（4）成立必有c＜1，而滿足大前提的c肯定是有可能取到小于1的數的，所以（4）對．
故答案為：（1）、（2）、（4）．

點評：本題考查命題的真假判斷和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘隱含條件．