Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（1）若曲線y=f（x）過點P（1，﹣1），求曲線y=f（x）在點P的切線方程；
（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范圍；
（3）求函數f（x）在區間[1，e]上最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）過點P（1，﹣1），

∴﹣1=ln1﹣m，∴m=1，

∴f（x）=lnx﹣x，

，

f'（1）=0，

∴過點P（1，﹣1）的切線方程為y=﹣1

（2）解：∵f（x）≤0恒成立，

即lnx﹣mx≤0恒成立，

∴mx≥lnx，

又∵f（x）定義域為（0，+∞），

∴ 恒成立；

設 ，

∵ ，

∴當x=e時，g'（e）=0

當0＜x＜e時，g'（x）＞0，g（x）為單調增函數，

當x＞e時，g'（x）＜0，g（x）為單調減函數，

∴ ，

∴當 時，f（x）≤0恒成立

（3）解：∵ ，

①當m≤0時，f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）為單增函數，

∵在x∈[1，e]上，f（x）max=f（e）=1﹣me；

②當 ，即 時，

當 時，f'（x）＞0，f（x）為單增函數，

當 時，f'（x）＜0，f（x）為單減函數，

∴x∈[1，e]上， ；

③當m＞1時，即 在 為單減函數，

∴x∈[1，e]上，f（x）max=f（1）=﹣m；

④當 ，即 時，

f（x）在 為單增函數，

∴x∈[1，e]時，f（x）max=f（e）=1﹣me；

綜上所述，

當 時，f（x）max=f（e）=1﹣me，

當 時，

當m＞1時，f（x）max=f（1）=﹣m

【解析】（1）由f（x）過點P（1，﹣1）可得﹣1=ln1﹣m，從而解出m=1，進而求曲線y=f（x）在點P的切線方程；（2）原式可化為lnx﹣mx≤0恒成立，結合x＞0可化為 恒成立，從而化為求 的最大值，利用導數求最值；（3）由 討論，m的取值，以確定函數函數f（x）在區間[1，e]上的單調性，從而求函數在區間[1，e]上的最大值．
【考點精析】利用函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．