Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=2x+x²
（1）求x＞0時，f（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f（x）=2a²+a有三個不同的解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）任取x＞0，則-x＜0，結合當x≤0時，f（x）=2x+x²，f（x）是定義在R上的奇函數，f（x）=-f（-x），可得x＞0時，f（x）的解析式；
（2）由（1）可得y=f（x）有極大值1，極小值-1，進而可構造關于a的不等式，解不等式可得答案．

解答：解：（1）任取x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=-2x+（-x）²=x²-2x．
∵f（x）是奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=2x-x²．
故x＞0時，f（x）=2x-x²．
（2）由（1）得y=f（x）有極大值1，極小值-1
∵方程f（x）=2a²+a有三個不同的解，
∴-1＜2a²+a＜1．
∴-1＜a＜

1

2

．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，利用奇偶性求函數的解析，是函數的綜合應用，難度中檔．