Question

已知函數f（x）=2x+

5

x

的定義域為（0，+∞）．設點P是函數圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=2x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）|PM|•|PN|是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；
（2）設點O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據條件，設出P的坐標，求出|PM|•|PN|，判斷是否為定值即可．
（2）根據條件將四邊形OMPN分解為兩個三角形OPM和OPN，分別表示出兩個三角形的面積，利用基本不等式的性質進行求最值．

解答：解：（1）設P的坐標為（x₀，y₀），則有y0=2x0+

5

x0

，
由點到直線的距離公式得|PM|=

|y0-2x0|

5

=

| 5 x0 |

5

=

5

x0

，|PN|=x₀，
∴|PM|：|PN|=

5

，
即|PM|•|PN|為定值

5

．
（2）由題意可設M（t，2t），知N（0，y₀）．
由PM與直線y=2x垂直，知K PM=-

1

2

，
即

y0-2t

x0-t

=-

1

2

，
又y0=2x0+

5

x0

，
解得t=x0+

2

x0

，
故|OM|=

5

(x0+

2

x0

)，
∴S△OPM=

1

2

•

5

x0

•

5

(x0+

2

x0

)=

5

2

(1+

2

x 2 0

)，S△OPN=

1

2

•x0•(2x0+

5

x0

)=

x

2 0

+

5

2

．
∴S_OMPN=S_△OPM+S_△OPN=

5

2

(1+

2

x 2 0

)+

x

2 0

+

5

2

=

x

2 0

+

5

x 2 0

+5≥2

5

+5，．
當且僅當x0=5

1

4

時等號成立，故四邊形面積有最小值2

5

+5．

點評：本題主要考查曲線和方程，以及點到直線的距離公式的應用，利用基本不等式是解決本題的關鍵，涉及的知識點較多，綜合性較強，運算量較大．