Question

已知圓C滿足：
（1）截y軸所得弦MN長為4；
（2）被x軸分成兩段圓弧，其弧 長之比為3：1，且圓心在直線y=x上，求圓C的方程．（為方便學生解答，做了一種情形的輔助圖形）

Answer 1

解：設圓的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，圓心是（a，b），半徑是r，
∵圓截y軸所得弦長為4，
∴r²=4+a²．
∵被x軸分成兩段圓弧，其弧長之比為3：1，
∴r=．
∵圓心（a，b）在直線y=x上，
∴b=a．
∴，
解得：a=b=2，r=或者a=b=-2，r=，
所以圓的方程：（x-2）²+（y-2）²=8或者（x+2）²+（y+2）²=8．
分析：設出圓的方程，圓心為（a，b），半徑為r，根據垂徑定理及勾股定理得到r²=4+a²，根據圓C被x軸分成的兩點圓弧，弧長之比為3：1，得到角ACB等于90°，得到圓的半徑r等于|b|，又根據圓心在直線y=x上，把圓心坐標代入y=x中得到a=b，
把得到的三個等式聯立即可求出a，b及r的值，進而得到圓C的圓心坐標及半徑，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可．
點評：此題考查學生靈活運用韋達定理及勾股定理化簡求值，掌握圓中的弧之比所對的圓心角之比的性質，是一道多知識的綜合題．