Question

已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足

AM

=2

.

AP

，

NP

•

.

AM

=0，點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線y=kx+

k2+1

與（1）中所求點(diǎn)N的軌跡E交于不同兩點(diǎn)F，H，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且

2

3

≤

OF

•

OH

≤

3

4

，求k²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，先證明出NP為線段AM的垂直平分線，利用垂直平分線定理得到點(diǎn)N到點(diǎn)A、C的距離和為常數(shù)，從而得出所求軌跡是以A、C為焦點(diǎn)的橢圓，不難求出它的方程；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，將直線y=kx+

k2+1

與橢圓方程聯(lián)解消去y得關(guān)于x的方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到

x1+x2=- 4k k2+1 2k2+1 x1x2= 2k 2 2k 2+1

，將這個(gè)關(guān)系代入到數(shù)量積

OF

 •

OH

當(dāng)中，表示成關(guān)于k的式子，再進(jìn)行化簡(jiǎn)，最終得到不等式

2

3

≤

k2+1

2k 2+1

≤

3

4

，解這個(gè)不等式可得k²的取值范圍．

解答：解：（1）

AM

=2

.

AP

，，

NP

•

.

AM

=0
所以NP為線段AM的垂直平分線，|NA|=|NM|
|NC|+|NA|=|NC|+|MN|=2

2

＞2=|CA|
所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=2

2

，焦距2c=2，所以a=

2

，c=1，b²=1
曲線E的方程為

x 2

2

+y2=1．
（2）設(shè)F（x₁，y₁）H（x₂，y₂），則由

x 2 2 +y2=1 y=kx+ k2+1

，消去y得
（2k²+1）x²+4k

k2+1

x+2k²=0，△=8k²＞0 （k≠0）

∴x1+x2=-

4k k2+1

2k2+1

，x1x2=

2k 2

2k 2+1

OF

•

OH

=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+  

k2+1

)(kx 2+ 

k2+1

)
=（k²+1）x₁x₂+k

k2+1

（x₁+x₂）+k²+1
=

(k 2+1)•2k 2

2k 2+1

-

(k 2+1)•4k 2

2k 2+1

+k2+1=

k 2 +1

2k 2+1

∴

2

3

≤

k2+1

2k 2+1

≤

3

4

⇒

1

2

≤k2≤1
∴k²的取值范圍為[

1

2

，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及圓錐曲線的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．本題對(duì)運(yùn)算的要求相當(dāng)高，解題中應(yīng)注意設(shè)而不求和轉(zhuǎn)化化歸思想的運(yùn)用．