Question

【題目】如圖，已知拋物線焦點為，直線經過點且與拋物線相交于，兩點

（Ⅰ）若線段的中點在直線上，求直線的方程；

（Ⅱ）若線段，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)

【解析】

試題（1）設直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，由點差法，可得2y0k＝4，又，所以。（2）設直線l的方程為x＝my＋1，與拋物線聯立組方程組，由弦長公式與志達定理，可求得參數m的值.

試題解析：(1)由已知得拋物線的焦點為F(1,0)．因為線段AB的中點在直線y＝2上，所以直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，

則由得

(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.

又y0＝2，所以k＝1，故直線l的方程是y＝x－1.

(2)設直線l的方程為x＝my＋1，與拋物線方程聯立得消元得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)>0.

|AB|＝|y1－y2|＝·

＝·＝4(m2＋1)．

所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，

所以直線l的方程是x＝±2y＋1，

即x±2y－1＝0.