Question

一條直線經過拋物線y²=2x的焦點F，且交拋物線于A、B兩點，點C為拋物線的準線上一點．
（Ⅰ）求證：∠ACB不可能是鈍角；
（Ⅱ）是否存在這樣的點C，使得△ABC是正三角形？若存在，求出點C的坐標；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設直線AB的方程為，與拋物線方程聯立得y²-2ty-1=0，利用韋達定理就，及用坐標表示向量，計算向量的數量積，即可證得結論；
（Ⅱ）假設存在這樣的點C，使得△ABC是正三角形，由（Ⅰ）得AB的中點坐標M（）．先確定AB的斜率必存在，再利用CM⊥AB知k_CMk_AB=-1，確定C（），利用，從而可得點C的坐標，即可得出結論．
解答：（Ⅰ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（），直線AB的方程為．
由得y²-2ty-1=0，則y₁+y₂=2t，y₁y₂=-1．
于是．…3
∵，
于是，
所以∠ACB不可能是鈍角．…2
（Ⅱ）解：假設存在這樣的點C，使得△ABC是正三角形，由（Ⅰ）得AB的中點坐標M（）．
①若直線AB的斜率不存在，這時t=0，A（），B（），點C的坐標只可能是（）．
由得，這是不可能的，于是AB的斜率必存在．…3
②由CM⊥AB知k_CMk_AB=-1，即，得m=t³+2t，從而C（）．
，
．
由得，解之得．
此時點C（）．故存在點C（），使得△ABC是正三角形．…6
點評：本題考查拋物線的應用，考查向量知識，考查存在性問題，解題的關鍵直線與拋物線的聯立，靈活運用韋達定理求解．