Question

在拋物線y=x²+ax-5（a≠0）上取橫坐標為x₁=-4，x₂=2的兩點，經過兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓5x²+5y²=36相切，則拋物線頂點的坐標為（ ）
A．（-2，-9）
B．（0，-5）
C．（2，-9）
D．（1，6）

Answer 1

【答案】分析：求出兩個點的坐標，利用兩點連線的斜率公式求出割線的斜率；利用導數在切點處的值為切線的斜率求出切點坐標；利用直線方程的點斜式求出直線方程；利用直線與圓相切的條件求出a，求出拋物線的頂點坐標．
解答：解：兩點坐標為（-4，11-4a）；（2，2a-1）
兩點連線的斜率k=
對于y=x²+ax-5
y′=2x+a
∴2x+a=a-2解得x=-1
在拋物線上的切點為（-1，-a-4）
切線方程為（a-2）x-y-6=0
直線與圓相切，圓心（0，0）到直線的距離=圓半徑

解得a=4或0（0舍去）
拋物線方程為y=x²+4x-5頂點坐標為（-2，-9）
故選A．
點評：本題考查兩點連線的斜率公式、考查導數在切點處的值為切線的斜率、考查直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑．