Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；

（2）討論方程的實數根的情況.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，方程有兩個實數根；當時，方程無實數根.

【解析】試題分析: (1)求出,利用兩直線垂直,求出 的值; (2)設 ，利用單調性求出, 分類討論: ,得出結果.

試題解析:（1）依題意，得，

所以，

又由曲線在點處的切線與直線垂直，可得，

所以，解得；

（2）方程，即.

當時，得，解得，

當時，解得.但是，即，所以時，方程無實數根.

令，則，

故當時， 是單調遞增函數；當時， 是單調遞減函數，

所以.

當時，由，得.

又，令，則在區間上，故為增函數，所以，即，所以.

，故當時，方程有兩個實數根；當時，方程無實數根.

點睛: 本題主要考查了導數的幾何意義以及函數零點的個數,屬于中檔題.

【一題多解】在(2)中,由有,轉化為函數與圖象交點的個數,當與相切時,切點為,又,所以此時無零點;由圖象知,當時圖象有兩個交點,即有兩個零點, ,圖象沒有交點,無零點,綜上討論,得出結論: 有兩個實數根, 無實數根.