Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣alnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線(xiàn)方程．
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=1﹣ ．

當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣ （x＞0），所以f（1）=1，f'（1）=﹣1，

所以y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0

（2）解：由f′（x）=1﹣ = ，x＞0可知：

①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）無(wú)極值；

②當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0，解得x=a；

因?yàn)閤∈（0，a）時(shí)，f'（x）＜0，x∈（a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，

所以f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）=a﹣alna，無(wú)極大值．

綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)極值，

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值a﹣alna，無(wú)極大值

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)A（1，f（1））處的導(dǎo)數(shù)值即為切線(xiàn)的斜率根據(jù)點(diǎn)斜式求出方程。（2）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)得出當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0，解得x=a，然后再由f'（x）在x=a處兩邊的值的正負(fù)判斷得出f（x）在x=a處取得極小值即為f（a）=a﹣alna。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．