Question

【題目】已知橢圓的焦點在x軸上，一個頂點為，離心率為，過橢圓的右焦點F的直線l與坐標軸不垂直，且交橢圓于A，B兩點．

求橢圓的方程；

設點C是點A關于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N，使得C，B，N三點共線？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由；

設，是線段為坐標原點上的一個動點，且，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點（3）

【解析】

（1）根據橢圓的一個頂點，即b＝1，利用離心率求得a和c關系進而求得a，則橢圓的方程可得；（2）設存在N（t，0），使得C、B、N三點共線，則∥，利用向量共線定理可得t，即可得出．（3）設直線l的方程為y＝k（x﹣2）（k≠0），代入橢圓方程，利用韋達定理結合向量的數量積公式，即可求得m的取值范圍；

由橢圓的焦點在x軸上，設橢圓C的方程為，

橢圓C的一個頂點為，即

由，解得：，

所以橢圓C的標準方程為；

由得，設，，

設直線l的方程為，代入橢圓方程，消去y可得

則，，

點C與點A關于x軸對稱，

假設存在，使得C、B、N三點共線，

則，，

、B、N三點共線，

，

，

即，

．

存在定點，使得C、B、N三點共線．

由，

，

，

，

，

，

解得：，

當時，符合題意

故m的范圍為