Question

若實數x，y滿足x²+y²=4，則

xy

x+y-2

的最小值是

1-

2

．

Answer 1

分析：令x=2cosθ，y=2sinθ，則要求的式子化為

sin2θ

sinθ+cosθ-1

，再令 cosθ+sinθ=t=

2

sin（θ+

π

4

），要求的式子即t+1，由此求得它的最小值．

解答：解：令x=2cosθ，y=2sinθ，則

xy

x+y-2

=

4sinθcosθ

2sinθ+2cosθ-2

=

sin2θ

sinθ+cosθ-1

，
再令 cosθ+sinθ=t=

2

sin（θ+

π

4

），t∈[-

2

，

2

]，平方可得 sin2θ=t²-1，
∴

xy

x+y-2

=

t2-1

t-1

=t+1∈[1-

2

，1+

2

]，故

xy

x+y-2

的最小值是1-

2

，
故答案為 1-

2

．

點評：本題主要考查圓的參數方程，正弦函數的值域，屬于中檔題．