Question

如圖1所示，在邊長為12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA′₁分別交BB₁，CC₁于P，Q，將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得A′A′₁與AA₁重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，

（Ⅰ）求證：AB⊥PQ；
（Ⅱ）在底邊AC上有一點M，AM：MC=3：4，求證：BM∥面APQ；
（Ⅲ）求直線BC與平面APQ所成角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為AB=3，BC=4，因此AC=5，
從而，即AB⊥BC，
又因為AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
從而AB⊥平面BC₁，
又PC平面BC₁，
所以，AB⊥PQ。
（Ⅱ）證明：過M作MN∥CQ交AQ于N，連結PN，
因為AM：MC=3：4，
∴AM：AC=MN：CQ=3：7，
∴MN=PB=3，
∵PB∥CQ，
∴MN∥PB，
∴四邊形PBMN為平行四邊形，
∴BM∥PN，
∴BM∥平面APQ。
（Ⅲ）解：由圖1知，PB=AB=3，QC=7，分別以BA，BC，BB₁為x，y，z軸，
則A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7），
 ，
設平面APQ的法向量為，，
所以，得，
令a=1，則c=1，b=-1，，
 所以，直線BC與平面APQ所成角的正弦值為。