Question

已知：2^x≤256且log₂x≥

1

2

，
（1）求x的取值范圍；
（2）求函數f(x)=log2(

x

2

)•log2(

x

4

)的最大值和最小值及對應的x值．

Answer 1

分析：（1）由2^x≤256求得x≤8，再由log₂x≥

1

2

求得 x≥

2

，綜上可得x的范圍．
（2）由（1）可得，

2

≤x≤8，

1

2

≤log₂x≤3，再根據f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2），利用二次函數的性質求得它的最值，以及此時對應的x值．

解答：解：（1）由2^x≤256=2⁸，∴x≤8．
且log₂x≥

1

2

=log2

2

，可得 x≥

2

．
綜上可得，

2

≤x≤8，即x的范圍為[

2

，8]．
（2）由（1）可得，

2

≤x≤8，∴

1

2

≤log₂x≤3，
∴f（x）=（log₂x-1）（log₂x-2）=( log2x-

3

2

)2-

1

4

，
∴當 log₂x=

3

2

 時，函數f（x）取得最小值為-

1

4

，此時，x=2

2

．
當 log₂x=3時，函數f（x）取得最大值為2，此時x=8．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合，二次函數的性質應用，屬于中檔題．