Question

【題目】已知橢圓的焦距為，點關于直線的對稱點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過點的直線與橢圓交于兩個不同的點（點在點的上方），試求面積的最大值；

（3）若直線經過點，且與橢圓交于兩個不同的點，是否存在直線（其中），使得到直線的距離滿足恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1；（3）存在，4.

【解析】

（1）根據橢圓的焦距求出c，由P（0，2）關于直線y＝﹣x的對稱點在橢圓Γ上可得a＝2，即可求出b2，可得橢圓方程；

（2）設過點P（0，2）的直線方程為y＝mx+2，代入橢圓方程，運用韋達定理，弦長公式和點到直線的距離，表示出三角形的面積，再根據函數的性質即可求出最值；

（3）設直線l的方程為y＝k（x﹣1），代入橢圓方程，運用韋達定理，假設存在這樣的直線l0，運用點到直線的距離公式和兩點的距離公式，可得，化簡整理代入，即可判斷．

（1）點關于直線的對稱點為，

因為在橢圓上，所以，又，故，

則．所以，橢圓的方程為．

（2）由題意，直線的斜率存在，設的方程為，

由得，

由△，得．

設，，則，，且，

，

所以，

．

令，則，所以，，

因為（當且僅當時等號成立），此時．

所以，當且僅當，即時，△的面積取最大值．

（3）當直線的斜率不存在時，的方程為，此時，，

等式成立；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

由得，

span>設，，則，，

由題意，與一個小于，另一個大于，不妨設，

則

，

所以，，

即，解得．

綜上，存在滿足條件的直線，使得恒成立．