Question

【題目】已知函數.

(1)求的單調區間;

(2)若,都有,求實數的取值范圍;

(3)證明: 且).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：(1) ,分兩種情況討論的符號,即可判斷函數的單調性;

(2)結合(1)的結論,求出函數的最大值,即可得出結論;

(3)由(2)知: 時, 在上恒成立,且在上單調遞減, ,所以在上恒成立,令,則,再利用放縮法即可證明結論.

試題解析：

(1)函數的定義域為,

①若時, 時, ,

的單調遞增區間是,單調遞減區間是;

②時, 恒成立, 的單調遞增區間是,

綜上①②知: 時, 的單調遞增區間是,無單調遞減區間;

時, 的單調遞增區間是,單調遞減區間是.

(2)由(1)知:當時, 在上單調遞增,且,

恒成立是假命題;

當時,由(Ⅰ)知: 是函數的最大值點,

,

,

故的取值范圍是.

(3)證明:由(2)知: 時, 在上恒成立,

且在上單調遞減, ,

,即在上恒成立.

令,則,即,

,

=,

故且).