Question

已知橢圓經過點P，兩焦點為F₁、F₂，短軸的一個端點為D，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線l恒過點，且交橢圓C于A、B兩點，證明：以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）．

Answer 1

解：（1）由題意知△DF₁F₂為等腰直角三角形，且b=c，
∴a=，
∴，
∵橢圓過點P（-1，-），代入方程，得b=1，
∴a=，故所求橢圓方程為．
（2）當直線l與x軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程為x²+y²=1，
此圓顯然過點T（0，1）．
當直線l不垂直于x軸時，設直線l：y=kx-，
由，消去y，得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
∵，，
∴=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=
=
=（1+k²）•，
∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1），
綜上所述，以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）．
分析：（1）由題意知△DF₁F₂為等腰直角三角形，且b=c，得a=，由此能求出橢圓方程．
（2）當直線l與x軸垂直時，以AB為直徑的圓過點T（0，1）．當直線l不垂直于x軸時，設直線l：y=kx-，由，得：（18k²+9）x²-12kx-16=0，由TA⊥TB，知以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1），由此能夠證明以AB為直徑的圓恒過定點T（0，1）．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考要直線和橢圓位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意韋達定理、向量垂直等知識點的合理運用．