Question

設f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數，且對任意a，b∈[-2，2]，當a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，且f（2）=2，
（1）判定并證明f（x）在[-2，2]上的單調性；
（2）若f（x）≤m²-2pm+2對任意p∈[-1，1]及任意x∈[-2，2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）不妨設a＞b，得

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，所以f（a）+f（-b）＞0，由f（x）是定義在R上的奇函數，能得到f（a）＞f（b）．
（2）依題意，只需f（x）max≤m²-2pm+2．構造h（p）=m²-2pm=-2pm+m²，看作關于p的函數．
利用一次函數性質求解．

解答：解：（1）∵對任意a，b∈[-2，2]，當a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，
不妨設a＞b，∴a-b＞0，
∴f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）；
知f（x）在[-2，2]上是單調遞增函數，
（2）任意x∈[-2，2]，f（x）∈[f（-2），f（2）]，即f（x）∈[-2，2]，
只需f（x）max≤m²-2pm+2．即m²-2pm+2≥2，m²-2pm≥0對任意p∈[-1，1]恒成立．
令h（p）=m²-2pm=-2pm+m²，看作關于p的函數．
當m=0時，h（p）=0符合題意．
當m≠0時，需

h(-1)≥0 h(1)≥0

即

m2+2m≥0 m2-2m≥0

，解得m≥2或m≤-2綜上所述，m的取值范圍是m=0或m≥2或m≤-2

點評：本題考查解函數恒成立問題的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易出錯．解題時要認真審題，注意轉化思想的靈活運用．