Question

已知函數f(x)=2sin2wx+2

3

sinwx•coswx-1(w＞0)的圖象與x軸兩相鄰交點之間的距離為π．
（1）求f（x）的解析式，并討論f（x）的單調性．
（2）將函數f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位，得到的函數g（x）的圖象，求函數g（x）的最大值及g（x）取得最大值時x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數解析式第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，第一、三項利用二倍角的正弦函數公式化簡，再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由f（x）圖象與x軸兩相鄰交點之間的距離為π，得到T=2π，求出ω的值，確定出f（x）解析式，由正弦函數的單調區間即可求出f（x）的單調區間；
（2）根據平移規律“左加右減”得到g（x）解析式，利用正弦函數的圖象與性質即可求出g（x）的最大值，以及此時x的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-

π

6

），
∵f（x）圖象與x軸兩相鄰交點之間的距離為π，
∴T=2π，即ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

），
當2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）時，f（x）為增函數；
當2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，即kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

4

（k∈Z）時，f（x）為減函數；
（2）根據題意得到g（x）=2sin（2（x+

π

4

）-

π

6

）=2sin（2x+

π

3

），
當2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

12

（k∈Z）時，g（x）最大值為2．

點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．