Question

在平面直角坐標系xOy上，給定拋物線L：y=x²，實數p，q滿足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}.
（1）過點A（p₀，p₀）（p₀≠0）作L的切線教y軸于點B。證明：對線段AB上任一點Q（p，q）有φ（p，q）=；
（2）設M（a，b）是定點，其中a，b滿足a²-4b>0，a≠0。過M（a，b）作L的兩條切線l₁，l₂，切點分別為E（p₁，p₁²），E′（p₂，p₂²），l₁，l₂與y軸分別交與F，F'。線段EF上異于兩端點的點集記為X。證明：M（a，b）∈X|P₁|＞|P₂|φ（a，b）=；
（3）設D={（x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）²-}，當點（p，q）取遍D時，求φ（p，q）的最小值 （記為φ_min）和最大值（記為φ_max）。

Answer 1

解：（1）
直線AB方程為，即
∴
方程的判別式
兩根或
∵
∴
又
∴
得
∴。
（2）由知點在拋物線L的下方
①當時，作圖可知，若，則，得
若，顯然有點
∴
②當時，點在第二象限，作圖可知，若，則，且
若，顯然有點
∴
根據曲線的對稱性可知，當時，
綜上所述
由（1）知點M在直線EF上，方程的兩根或
同理點M在直線上，方程的兩根或
若，則不比，，小
∴
又
∴
又由（1）知
∴
綜合（*）式，得證。
（3）聯立，得交點，可知
過點作拋物線L的切線，設切點為，則
得，解得
又，即
∴
設
∴
∵
又
∴
∵
∴
∴。