Question

在平面直角坐標系xoy上，給定拋物線L：y=

1

4

x²．實數p，q滿足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的兩根，記φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）過點，A（p₀，

1

4

p₀²）（p₀≠0），作L的切線交y軸于點B．證明：對線段AB上的任一點Q（p，q），有φ（p，q）=

|p0|

2

；
（2）設M（a，b）是定點，其中a，b滿足a²-4b＞0，a≠0．過M（a，b）作L的兩條切線l₁，l₂，切點分別為E（p₁，

1

4

p

2 1

），E′（p₂，

1

4

p₂²），l₁，l₂與y軸分別交于F，F′．線段EF上異于兩端點的點集記為X．證明：M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|?φ（a，b）=

|p1|

2

．
（3）設D={ （x，y）|y≤x-1，y≥

1

4

（x+1）²-

5

4

}．當點（p，q）取遍D時，求φ（p，q）的最小值 （記為φ_min）和最大值（記為φ_max）

Answer 1

分析：（1）求導，寫出過點A（p₀，

1

4

p₀²）（p₀≠0）L的切線方程，求得點B的坐標，即可證得結果；
（2）求出過M（a，b）作L的兩條切線l₁，l₂，根據φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}，比較

|p1|

2

、|a-

p1

2

|、

|p2|

2

、|a-

p2

2

|的大小，即可證得結論；
（3）聯立y=x-1，y=

1

4

（x+1）²-

5

4

求得交點坐標，利用導數求過點（p，q）拋物線L的切線方程，求得切點坐標，轉化為求函數的最值問題．

解答：解：（1）k_AB=y′|_x=p0=

1

2

p₀，
直線AB的方程為y-

1

4

p₀²=

1

2

p₀（x-p₀），即y=

1

2

p₀x-

1

4

p₀²，
∴q=

1

2

p₀p-

1

4

p₀²，方程x²-px+q=0的判別式△=p²-4q=（p-p₀）²，
兩根x_1，2=

p±|p0-p|

2

=

p0

2

或p-

p0

2

，
而|p-

p0

2

|=||p|-|

p0

2

||，又0≤|p|≤|p₀|，
∴-|

p0

2

|≤|p| -|

p0

2

|≤|

p0

2

|，得|p-

p0

2

|=||p|-|

p0

2

||≤|

p0

2

|，
∴φ（p，q）=

|p0|

2

；

（2）由a²-4b＞0知點M（a，b）在拋物線L的下方，
①當a＞0，b≥0時，作圖可知，若M（a，b）∈X，則p₁＞p₂≥0，
得|p₁|＞|p₂|；顯然有點M（a，b）∈X；∴M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．
②當a＞0，b＜0時，點M（a，b）在第二象限，作圖可知，若M（a，b）∈X，則p₁＞0＞p₂，
且|p₁|＞|p₂|；
顯然有點M（a，b）∈X，
∴顯然有點M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．
根據曲線的對稱性可知，當a＜0時，M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．
綜上所述，M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|．   （*）
由（1）知點M在直線EF上，方程x²-ax+b=0的兩根x_1，2=

p0

2

或a-

p0

2

，
同理知點M在直線E′F′上，方程x²-ax+b=0的兩根x_1，2=

p0

2

或a-

p0

2

，
若φ（a，b）=

|p1|

2

，則

|p1|

2

不比|a-

p1

2

|、

|p2|

2

、|a-

p2

2

|小，
∴|p₁|＞|p₂|；又|p₁|＞|p₂|?M（a，b）∈X；
∴φ（p，q）=

|p1|

2

?M（a，b）∈X；
又由（1）知，M（a，b）∈X?φ（p，q）=

|p1|

2

；
∴M（a，b）∈X?φ（p，q）=

|p1|

2

，綜合（*）式，得證．

（3）聯立y=x-1，y=

1

4

（x+1）²-

5

4

得交點（0，-1），（2，1），可知0≤p≤2，
過點（p，q）拋物線L的切線，設切點為（x₀，

1

4

x₀²），則

1 4 x02-q

x0-q

=

1

2

x0，
得x₀²-2px₀+4q=0，解得x₀=p+

p2-4q

，
又q≥

1

4

（p+1）²-

5

4

，即p²-4q≤4-2p，
x₀≤p+

4 -2p

，設

4 -2p

=t，x₀≤-

1

2

t2+t+2=-

1

2

(t-1)2+

5

2

≤

5

2

，
∴φ_max=

5

4

；
而x₀≥p+

p2-4p+4

=p+|p-2|=2，
∴φ_min=

|x0|

2

=1．

點評：此題是個難題．本題考查了利用導數研究拋物線的切線方程，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題形式是個新定義問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．