Question

已知f(x)=

x2+1

3x+p

是奇函數．
（1）求實數p的值；
（2）判斷函數f（x）在（-∞，-1）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，f（-x）=-f（x），代入已知函數中即可求p
（2）利用單調性的定義，任取x₁＜x₂＜-1，然后通過作差法比較f（x₁）-f（x₂）的正負即可判斷

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x）…（1分）
即

x2+1

-3x+p

=-

x2+1

3x+p

，…（2分）
∴

x2+1

-3x+p

=

x2+1

-3x-p

，
從而p=0；              …（5分）
（2）f(x)=

x2+1

3x

在（-∞，1）上是單調增函數．…（6分）
證明：f(x)=

x2+1

3x

，任取x₁＜x₂＜-1，則         …（7分）
f(x1)-f(x2)=

x 2 1 +1

3x1

-

x 2 2 +1

3x2

=

x 2 1 x2+x2- x 2 2 x1-x1

3x1x2

…（8分）
=

x1x2(x1-x2)-(x1-x2)

3x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

3x1x2

，…（10分）
∵x₁＜x₂＜-1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0，…（11分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1）上是單調增函數．…（12分）

點評：本題主要考查了利用奇函數的定義求解函數解析式及函數的單調性的定義在單調性的判斷中的應用，要注意基本運算