Question

【題目】已知函數，其中.

（1）求的單調遞增區間；

（2）當的圖像剛好與軸相切時，設函數，其中，求證：存在極小值且該極小值小于.

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調增區間是，當時，的單調遞增區間是；（2）證明見解析

【解析】

（1）先求導，通過導論參數和，根據導數值大于零，求出對應增區間即可

（2）當時，，由（1）知切點即為，可求出，求出，先求導，再根據導數值正負進一步判斷函數增減性，確定極值點，求證在該極值點處函數值小于即可

解：（1），，

當時，，的單調增區間是；

當時，由可得，

綜上所述，當時，的單調增區間是，當時，的單調遞增區間是.

（2）易知切點為，

由得，，

所以

設，

則在上是增函數，

，

當時，，

所以在區間內存在唯一零點，

即.

當時，；當時，；

當時，，

所以存在極小值.

又，則，故，

故存在極小值且該極小值小于.