Question

已知函數f（x）=sinx-

3

cosx在點A處的切線為l₁，函數g（x）=

1

2

x²+lnx在點B處的切線為l₂．若l₁∥l₂，則|

OA

•

OB

|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：導數的概念及應用,平面向量及應用

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞0，求導數結合三角函數的值域和基本不等式可得兩直線的斜率k₁=k₂=2，并可得此時x₂=1，x₁=2kπ+

π

3

，k∈Z，而|

OA

•

OB

|=|x₁•x₂+y₁•y₂|，代入數據可得答案．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₂＞0，
∵f（x）=sinx-

3

cosx，∴f′（x）=cosx+

3

sinx，
∴切線為l₁的斜率k₁=f′（x₁）=cosx₁+

3

sinx₁=2sin（x₁+

π

6

）≤2；
同理可得切線為l₂的斜率k₂=g′（x₂）=x₂+

1

x2

≥2，
又l₁∥l₂，∴k₁=k₂=2，此時x₂=1，x₁+

π

6

=2kπ+

π

2

，
解得x₁=2kπ+

π

3

，k∈Z，
∴y₁=f（x₁）=sinx₁-

3

cosx₁=0
∴|

OA

•

OB

|=|x₁•x₂+y₁•y₂|=|2kπ+

π

3

+0|=|2kπ+

π

3

|
∴當k=0時，上式取到最小值

π

3

故答案為：

π

3

．

點評：本題考查平面向量數量積的最值，涉及導數和切線以及基本不等式的應用，屬中檔題．