Question

學校推薦學生參加某著名高校的自主招生考試，經過申請--資格認定--初選，已確定甲班有3名同學入圍，還有包括乙班在內的四個班各有2名同學入圍，若要從這些入圍的同學中隨機選出5名同學參加該校的自主招生考試．
（1）求在已知甲班恰有2名同學入選的條件下乙班有同學入選的概率；
（2）求甲班入選人數X的期望；
（3）求有且僅有一個班的入選人數超過1人的概率．

Answer 1

分析：（1）在已知甲班恰有2名同學入選的條件下，其余3人來自于其余四班，此時乙班有人入選的概率P1=1-

C 3 6

C 3 8

，由此能夠求出結果．
（2）X可取0，1，2，3，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出EX．
（3）有且僅有一個班的入選人數超過一人的選法有

C

1 4

×2×2×2+

C

1 2

•

C

1 4

•

C

2 3

×2×2+

C

2 3

•

C

3 4

×2×2×2+

C

2 3

•

C

2 4

×2×2=296（種），由此能求出有且僅有一個班的入選人數超過1人的概率．

解答：解：（1）在已知甲班恰有2名同學入選的條件下，其余3人來自于其余四班，
此時乙班有人入選的概率為：
P1=1-

C 3 6

C 3 8

=1-

5

14

=

9

14

．
（2）X可取0，1，2，3，
P（X=0）=

C 5 8

C 5 11

=

4

33

，
P（X=1）=

C 1 3 • C 4 8

C 5 11

=

5

11

，
P（X=2）=

C 2 3 • C 3 8

C 5 11

=

4

11

，
P（X=3）=

C 3 3 • C 2 8

C 5 11

=

2

33

，
∴EX=0×

4

33

+1×

5

11

+2×

4

11

+3×

2

33

=

15

11

．
（3）有且僅有一個班的入選人數超過一人的選法有：

C

1 4

×2×2×2+

C

1 2

•

C

1 4

•

C

2 3

×2×2+

C

2 3

•

C

3 4

×2×2×2+

C

2 3

•

C

2 4

×2×2=296（種），
故有且僅有一個班的入選人數超過1人的概率P₂=

296

C 5 11

=

148

231

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和方差，是中檔題．在歷年高考中都是必考題型，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．