Question

已知f（x）=x+

1

x

（1）證明函數f（x）的圖象關于原點對稱；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調性，并用定義加以證明．

Answer 1

分析：（1）求得f（x）=x+

1

x

 的定義域關于原點對稱，且滿足f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
可得函數為奇函數，此函數的圖象關于原點對稱．
（2）設x₂＞x₁＞1，計算f（x₂）-f（x₁）=[x₂+

1

x2

]-[x₁+

1

x1

]＞0，可得函數f（x）在（1，+∞）
上單調性遞增．

解答：解：（1）由于f（x）=x+

1

x

 的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱，
且滿足f（-x）=-x+

1

-x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
故函數為奇函數，故此函數的圖象關于原點對稱．
（2）函數f（x）在（1，+∞）上單調性遞增．
證明：設x₂＞x₁＞1，由于f（x₂）-f（x₁）=[x₂+

1

x2

]-[x₁+

1

x1

]
=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1•x2

=（x₂-x₁）•[1-

1

x1•x2

]．
由題設可得（x₂-x₁）＞0，且1-

1

x1•x2

＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），故函數f（x）在（1，+∞）上單調性遞增．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的應用，利用函數的單調性的定義證明函數的單調性，屬于中檔題．