Question

【題目】已知兩個集合A，B，滿足BA．若對任意的x∈A，存在ai，aj∈B（i≠j），

使得x=λ1ai+λ2aj（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），則稱B為A的一個基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，則其基集B元素個數的最小值是__

Answer 1

【答案】4

【解析】

設B中元素a1<a2<…<an,且ai≤aj,

則1·ai+0·aj有n種,1·ai+1·aj有n種,1·ai-1·aj有種,-1·ai+1·aj有種,

∴n+n++≥10,∴n2+n≥10,∴n≥3, n=3時,共12種,最多不符合題意兩種,

設B={a1,a2,a3},a1<a2<a3,則2a3≥10,2a2≤10,

∴a3≥5,a2≤5. a3=5時,a3+a2=9,

∴a2=4,a3+a1=7或a2+a1=7,∴a1=2或3,∴B={5,4,3}(舍),B={5,4,2}(舍);

a3=6時,若a2=5,則a3+a1=7或a2+a1=7,

∴a1=1或2,B={6,5,2}(舍),B={6,5,1}(舍),

若a2=4,則a1+a3=9,∴B={6,4,3}(舍);

a3=7時,a1+a3≤10,a1≤3,a1=3時,3<a2≤5無法構成9,a1=2時,a2+a3=10或2a2=10,

∴a2=3或5,B={7,5,2}(舍),B={7,3,2}(舍).

a1=1時,a2+a3=10或2a2=10,a2=3或5,B={7,5,1}(舍),B={7,3,1}(舍);

a3=8時,a1+a8≤10,∴a1=1或2,a1=1時,a2+a3=10或2a2=10,

∴a2=2或5,B={8,5,1}(舍),B={8,2,1}(舍),

a1=2時,2<a1<5,無法構成9;a3=9時,a1=1,1<a2≤5,無法構成7;

a3=10時,2a3>10,a3+a2>10,a3+a1>10,不是10個數.

∴n=3時不成立.n=4時,B={9,6,4,1}或B={9,7,4,1}或B={8,5,2,1},合理即可.