Question

已知向量

a

=(sinωx，2cosωx)，

b

=(cosωx，-

2 3

3

cosωx)（ω＞0），函數f(x)=

a

(

3

b

+

a

)-1，且函數f（x）的最小正周期為

π

2

．
（1）求ω的值；  
（2）設△ABC的三邊a、b、c滿足：b²=ac，且邊b所對的角為x，若方程f（x）=k有兩個不同的實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過數量積以及兩角和的正弦函數化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，通過周期求出ω的值．
（2）利用余弦定理求出x的范圍，然后求出相位的范圍，利用三角函數的值域求解即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

•(

3

b

+

a

)-1=(sinωx，2cosωx)•(sinωx+

3

cosωx，0)-1
=

3

2

sin•2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

…（5分）
∵T=

2π

2ω

=

π

2

，
∴ω=2…（6分）
（2）∵在△ABC中，cosx=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

…（8分）
∴0＜x≤

π

3

，

π

-6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

…（9分）
sin(4x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴sin(4x-

π

6

)-

1

2

∈[-1，

1

2

]．
∴f(x)=sin(4x-

π

6

)-

1

2

=k，有兩個不同的實數解時k的取值范圍是：(-1，

1

2

)．        …（12分）

點評：本題考查向量的數量積，余弦定理，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及基本不等式的運用，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．