Question

設f(x)=log_ag(x)(a＞0且a≠1)。
(1)若f(x)在定義域D內是奇函數，求證：g(x)·g(-x)=1；
(2)若g(x)=ax且在[1，3]上，f(x)的最大值是，求實數a的值；
(3)若g(x)=ax²-x，是否存在實數a，使得f(x)在區間I=[2，4]上是減函數？且對任意的x₁，x₂∈I都有f(x₁)＞a^x₂-2，如果存在，說明a可以取哪些值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵在定義域D內是奇函數，
∴f(x)+f(-x)=0，，即，
∴。
（2）①若a＞1，則在[1，3]上是增函數，則有f(3)=，
∴，
∴a=9；
②若0＜a＜1，則在[1，3]上是減函數，則有f(1)= ，
∴=，解得：a不存在；
綜上所述：a=9。
（3）①若a＞1時，要滿足題設，則有在[2，4]上是減函數，
∴而函數＞0僅在上是減函數，故a＞1不符合題意；
 ②若0＜a＜1時，要滿足題設，則有在[2，4]上是增函數，并且在[2，4]上成立，∴，∴a＞，
要對任意的x₁，x₂∈I都有，只要求f(x)的最小值大于的最大值即可。
∵f(x)在區間I=[2，4]上是減函數，
∴==，的最大值為=1，
∴＞1，∴a＜，這與a＞矛盾，舍去；
綜上所述：滿足題設的實數a不存在。