Question

【題目】設函數）.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）設，若對任意的，存在使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或.

【解析】試題分析：（1）本問考查導數幾何意義，當時， ，則，又，所以可以求出切線方程；（2）本問考查“任意”和“存在”問題，主要是將問題等價轉化，“對任意的，存在使得成立”等價于“在區間上， 的最大值大于或等于的最大值”，根據二次函數易求在上的最大值，求在上最大值時，需要分區間對的根進行討論，通過單調性求出在上最大值，進而解不等式求的取值范圍.

試題解析：(1)當時，因為，所以，又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即.

(2)“對任意的，存在使得成立”等價于“在區間上， 的最大值大于或等于的最大值”.因為，所以在上的最大值為.

,令，得或.

①當，即時， 在上恒成立， 在上為單調遞增函數， 的最大值大為，由，得；

②當，即時，當時， 為單調遞減函數，當時， 為單調遞增函數，所以的最大值大為或.由，得；由，得，又因為，所以；

③當，即時， 在上恒成立， 在上為單調遞減函數，所以的最大值大為，由，得，又因為，所以，

綜上所述，實數的取值范圍是或.