Question

如圖，已知平面四邊形ABCD中，△BCD為正三角形，AB=AD=2，∠BAD=2θ，記四邊形ABCD的面積為S．
（1）將S表示為θ的函數；
（2）求S的最大值及相應的θ值．

Answer 1

分析：（1）根據題設條件合理建立方程，從而得出S關于θ的函數關系式．
（2）利用正弦函數取得最大值的結論，可以得到S的最大值及相應的θ值．

解答：解：（1）∵∠BAD=2θ，
∴△DAD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos2θ=8-8cos2θ，
∵△BCD為正三角形
∴S_△BCD=

3

4

BD²=

3

（2-2cos2θ）
∴四邊形ABCD的面積為S=S_△BAD+S_△BCD=

1

2

•AB•ADsin2θ+

3

（2-2cos2θ）
=2

3

+2sin2θ-2

3

cos2θ=2

3

+4sin（2θ-

π

3

），其中θ∈（0，

π

2

）
（2）由（1）得，當2θ-

π

3

=

π

2

時，
即θ=

5π

12

時，S的最大值為4+2

3

．

點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數模型的問題．考查了學生知識的掌握和遷移的能力．挖掘題設條件，合理運用三角函數是正確解題的關鍵．