Question

如圖：已知平面四邊形ABCD,AC、BD相交于O,AB=AD,CB=CD,

∠ABC=120°,且PA⊥平面ABCD.

(1)若AB=PA=,求P到直線BC的距離;

(2)求證平面PBD⊥平面PAC.

Answer 1

（1）（2）見解析

解析:

(1)延長CB,過A在平面內作AE⊥CB,垂足為E.

∵∠ABC=120°,∴∠ABE=60°,在Rt△ABE中：AE=AB·sin60°=·=

∵PA⊥平面,AE⊥EB,∴AE是PE在平面內的射影,

∴PE⊥EB,∴PE為點P到BC的距離.在Rt△PAE中：PE=.

                   

(2)在四邊形ABCD中,取BD中點O,連AO、CO,

∵AB=AD,CD=CB,BO=OD,

∴AO⊥BD,CO⊥BD,

∴A、O、C共線,∴AC⊥BD.

又PA⊥,∴PA⊥BD,

∴BD⊥平面PAC,∵BD平面PBD,

∴平面PBD⊥平面PAC.