Question

已知點P在曲線C：上，曲線C在點P處的切線與函數y=kx（k＞0）的圖象交于點A，與x軸交于點B，設點P的橫坐標為t，點A、B的橫坐標分別為x_A、x_B，記f（t）=x_A•x_B．
（1）求f（t）的解析式；
（2）設數列{a_n}滿足，求數列{a_n}的通項公式；
（3）在 （2）的條件下，當1＜k＜3時，證明不等式．

Answer 1

解：（1）∵y=，
∴，
∴切線方程為，
與y=kx聯立得：，令y=0，得：x_B=2t，
∵f（t）=x_A•x_B，
∴（k＞0，t＞1）．
（2）由得：，
=，
設，
則=，
∵a₁=1，
∴①當k=3時，，
∴{b_n}是以0為首項的常數數列，
∴a_n=1．
②當k≠3時，{b_n}是以1-為首項，為公比的等比數列，
∴，
解得，
由①②，得．
（3）∵
=
=，
∵1＜k＜3，
∴，
∴
=（）+（）+…+（）
=
=
＞
=，
∵1＜k＜3，
∴＞0．
∴．
分析：（1）由y=，求出切線方程為，與y=kx聯立得：，x_B=2t，再由f（t）=x_A•x_B，能求出f（t）的解析式．
（2）由得：，=，設，則=，由此導出，解得．
（3）因為=，由1＜k＜3，知，所以=（）+（）+…+（）=＞
=＞0，由此能夠證明．
點評：本題考查數列與不等式的綜合，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．