Question

已知函數f（x）的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}，且對于定義域內的任何x、y，有f（x-y）=

f(x)•f(y)+1

f(y)-f(x)

成立，且f（a）=1（a為正常數），當0＜x＜2a時，f（x）＞0．
（1）判斷f（x）奇偶性；
（2）求f （x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的定義域，根據條件計算f（-x）與f（x）的關系，再根據函數的奇偶性的定義進行判定即可；
（2）先證明f（x）在[2a，3a]上單調遞減為此，必須證明x∈（2a，3a）時，f（x）＜0，再根據單調性的定義進行證明，然后分別求出端點的函數值即可．

解答：解：（1）∵定義域{x|x≠kπ，k∈Z}關于原點對稱，
又f（-x）=f[（a-x）-a]
=

f(a-x)•f(a)+1

f(a)-f(a-x)

=

1+f(a-x)

1-f(a-x)

=

1+ f(a)•f(x)+1 f(x)-f(a)

1- f(a)•f(x)+1 f(x)-f(a)

=

2f(x)

-2

=-f(x)，
對于定義域內的每個x值都成立
∴f（x）為奇函數
（2）f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]
=

f(a)•f(-a)+1

f(-a)-f(a)

=

1-f2(a)

-2f(a)

=0，
f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]
=

f(2a)•f(-a)+1

f(-a)-f(2a)

=

1

-f(a)

=-1．
先證明f（x）在[2a，3a]上單調遞減為此，必須證明x∈（2a，3a）時，f（x）＜0，
設2a＜x＜3a，則0＜x-2a＜a，
∴f（x-2a）=

f(2a)•f(x)+1

f(2a)-f(2x)

=

1

-f(x)

＞0，∴f（x）＜0
設2a＜x₁＜x₂＜3a，
則0＜x_2-x₁＜a，∴f（x₁）＜0f（x₂）＜0，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

f(x1)•f(x2)+1

f(x2-x1)

＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在[2a，3a]上單調遞減
∴f（x）在[2a，3a]上的最大值為f（2a）=0，最小值為f（3a）=-1

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷，以及函數的最值及其幾何意義等有關知識，屬于基礎題．