Question

將一段長為100cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，問如何截可使正方形與圓面積之和最小？

Answer 1

分析：設出彎成圓的一段長，求出正方形與圓面積之和，利用導數，即可求得結論．

解答：解：設彎成圓的一段長為x，另一段長為100-x，記正方形與圓的面積之和為S，則
S=π（

x

2π

）²+（

100-x

4

）²（0＜x＜100）．
∴S′=

x

2π

-

1

8

（100-x）．
令S′=0，則x=

100π

π+4

（cm）．
由于在（0，100）內函數只有一個導數為零的點，且函數在（0，

100π

π+4

）內單調遞減，在（

100π

π+4

，100）單調遞增
∴問題中面積之和的最小值顯然存在，
故當x=

100π

π+4

cm時，即彎成圓的一段長為

100π

π+4

cm時，面積之和最小．

點評：本題考查面積的求法，考查導數知識，考查利用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．