Question

已知函數．
（1）求函數的單調遞減區間；
（2）若，證明：．

Answer 1

（1）（0，＋∞）（2）由⑴知，當x∈（－1，0）時，＞0，當x∈（0，＋∞）時，＜0，因此，當時，≤，即≤0∴ ．
令，則＝∴ 當x∈（－1，0）時，＜0，當x∈（0，＋∞）時，＞0．∴ 當時，≥，即 ≥0，∴ 綜上可知，當時，有

試題分析：⑴函數f(x)的定義域為．＝－1＝－.
由<0及x>－1，得x>0．∴ 當x∈（0，＋∞）時，f(x)是減函數，即f(x)的單調遞減區間為（0，＋∞）．
⑵證明：由⑴知，當x∈（－1，0）時，＞0，當x∈（0，＋∞）時，＜0，
因此，當時，≤，即≤0∴ ．
令，則＝．……………8分
∴ 當x∈（－1，0）時，＜0，當x∈（0，＋∞）時，＞0．
∴ 當時，≥，即 ≥0，∴ ．
綜上可知，當時，有．……………………………………12分
點評：求單調區間時首先確定其定義域，第二問將證明不等式問題轉化為求函數最值問題，進而可利用導數通過求其最值確定不等式的正確性