Question

已知函數的圖象在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2．
（1）求實數a，b的值；
（2）設是[2，+∞）上的增函數．
①求實數m的最大值；
②當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）求導函數可得f′（x）=x²-2x+a
∵函數在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2，∴，∴．
（2）①由=，得g′（x）=．
∵g（x）是[2，+∞）上的增函數，∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即在[2，+∞）上恒成立．
設（x-1）²=t，∵x∈[2，+∞），∴t≥1，∴不等式t+2-≥0在[1，+∞）上恒成立
當m≤0時，不等式t+2-≥0在[1，+∞）上恒成立．
當m＞0時，設y=t+2-，t∈[1，+∞）
因為y′=1+＞0，所以函數y=t+2-在[1，+∞）上單調遞增，因此y_min=3-m．
∴y_min≥0，∴3-m≥0，即m≤3，又m＞0，故0＜m≤3．
綜上，m的最大值為3．
②由①得g（x）=，其圖象關于點Q（1，）成中心對稱．
證明如下：∵g（x）=，
∴g（2-x）==
因此，g（x）+g（2-x）=．
∴函數g（x）的圖象關于點Q成中心對稱．
∴存在點Q（1，），使得過點Q的直線若能與函數g（x）的圖象圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等．
分析：（1）求導函數，利用在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x-2，建立方程組，即可求實數a，b的值；
（2）①求導函數，利用g（x）是[2，+∞）上的增函數，可得g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，進一步利用換元法，確定函數的最值，即可求得m的最大值；
②由①得g（x）=，證明圖象關于點Q（1，）成中心對稱即可．
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的最值，考查圖象的對稱性，屬于中檔題．