Question

(本題滿分14分)

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)，離心率為，經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線x＝4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說(shuō)明理由；

(3)連接AE、BD，試探索當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)易知因?yàn)?sub>

∴橢圓C的方程                  …………………………4分

(2)易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程且l與y軸交于設(shè)直線l交橢圓于

由得

              ……………………………………6分

又由＝λ,∴(x₁,y₁＋k)＝λ(1－x₁,－y₁)

，同理              …………………………………………8分

所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，的值為定值－；  …………………………10分

(3)當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交FK的中點(diǎn)N(，0)，                                        …………………11分

猜想，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N(，0)

證明：由(2)知

當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，首先證直線AE過(guò)定點(diǎn)N(，0)，

∶

當(dāng)時(shí)，

＝

＝點(diǎn)N(，0)，在直線l_AE上,     …………………12分

同理可證，點(diǎn)N(，0)也在直線l_BD上；                       …………………13分

∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)(，0)                ………………………14分

其他正確做法相應(yīng)給分。