Question

如圖1-1-5,已知M是AB中點(diǎn),A、B在l的兩側(cè),分別過(guò)A、B、M作直線l的垂線,垂足分別為C、D、N.請(qǐng)?zhí)接慉C、BD、MN的關(guān)系并證明.

圖1-1-5(1)

Answer 1

思路分析：假設(shè)B、D重合,則圖形變?yōu)閳D1-1-5(2).

圖1-1-5(2)

∵AC⊥l,MN⊥l,∴MN∥AC.又∵M(jìn)是中點(diǎn),

∴N是BC中點(diǎn),MN是△ABC的中位線.

∴MN=AC.而當(dāng)B、D不重合時(shí),要么MN=(AC+BD),要么MN=(AC-BD).

通過(guò)觀察,A、B在l異側(cè)時(shí)MN＜AC,因此我們猜想MN=(AC-BD).

下面我們給出猜想的證明.

解:如圖1-1-5(1),連結(jié)DM并延長(zhǎng)交AC于E,

∵AC、MN、BD都垂直于l,

∴AC∥MN∥BD.

又∵M(jìn)是中點(diǎn),∴N是CD的中點(diǎn).

∴MN是△CDE的中位線.

∴MN=EC= (AC-AE).

∵AE∥BD,∴∠A=∠B.

在△AME和△BMD中,

∴MN=(AC-BD).