Question

若函數的最小值是-2，求實數a的值，并求出此時f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：利用同角三角函數的平方關系式，化簡函數的表達式，即可用cosx表示f（x）；換元t=cosx，0則t∈[0，1]，問題轉化為二次函數閉區間上的最小值問題，通過分類，分別利用f（x）的最小值是-2，求實數a的值．
解答：解：函數f（x）=（a-1）²-2sin²x-2acosx
=（a-1）²-2+cos²x-2acosx
=2cos²x-2acosx+a²-2a-1．令t=cosx，則t∈[0，1]，
，t∈[0，1]
①當，即a≤0時，，故a=1（舍）
②當，即0＜a＜2時，
解得，取，此時y_max=-1
③當，即a≥2時，
解得a=1（舍）或a=3，，此時y_max=2
綜上，當時y_max=-1；當a=3時y_max=2
點評：本題考查換元法，分類討論的數學思想，二次函數閉區間上的最值的應用，考查轉化思想，計算能力．