Question

如圖，在空間四面體S-ABC中，已知∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，AN⊥SB，AM⊥SC，證明：SC⊥平面AMN．

Answer 1

證明：∵SA⊥平面ABC，而AB為SB在平面ABC內的射影，
又由∠ABC=90°，知BC⊥AB，由三垂線定理，BC⊥SB，∴BC⊥平面SAB，
∵AN?平面SAB，∴BC⊥AN，∴AN⊥平面SBC，∴SC⊥AN，
∵AM⊥SC，∴SC⊥平面AMN．
分析：由結論聯想判定定理，要證明SC⊥平面AMN，需證明SC垂直于平面AMN中的兩條相交直線．已知AM⊥SC，尚缺條件SC⊥AN．于是考慮從其它條件所具備的性質中去尋找．
點評：本題在運用判定定理證明線面垂直（SC⊥平面AMN）時，將問題化為利用定義證明線線垂直（SC⊥AN）；而證明此線線垂直時，又轉化為利用判定定理證明線面垂直（AN⊥平面SBC），又利用定義轉化為證明BC⊥AN．