Question

如圖，在空間四邊形OABC中，M，G分別是BC，AM的中點，設

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

．
（1）用基底{

a

 ， 

b

 ，

c

}表示向量

OG

；
（2）若|

a

|=|

b

|=|

c

|=

3

，且

a

與

b

、

c

夾角的余弦值均為

1

3

，

b

與

c

夾角為60°，求|

OG

|．

Answer 1

分析：（1）根據所給的圖形和一組基底，從起點O出發，利用向量和的三角形法則，把不是基底中的向量再用是基地的向量來表示，做出結果．
（2）欲求向量的模，可先將模平方，根據公式|

a

| 2=

a

 2，再將平方式展開結合向量的數量積求出其值即可．

解答：解：（1）

OG

=

1

2

（

OA

+

OM

）
  

OM

=

1

2

（

OB

+

OC

）
∴

OG

=

1

2

OA

+

1

4

OB

+

1

4

OC

，
即

OG

=

1

2

a

+

1

4

b

+

1

4

c

（2）|

OG

|²=（

1

2

a

+

1

4

b

+

1

4

c

）^2
=

1

16

（4

a2

+

b2

+

c2

+4

ab

+4

ac

+2

bc

）
又|

a

|=|

b

|=|

c

|=

3

，
cos＜

a

，

b

＞=cos＜

a

，

c

＞=

1

3

，cos＜

b

，

c

＞=cos60°=

1

2

∴|

OG

|2=

1

16

（4×3+3+3+4+4+3）=

29

16

∴|

OG

|=

29

4

．

點評：本題考查向量在幾何中的應用、向量的加法法則，還考查向量的基本定理及其意義，解題時注意方法，即從要表示的向量的起點出發，沿著空間圖形的棱走到終點，若出現不是基底中的向量的情況，再重復這個過程，是基礎題．