Question

在三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC是邊長為的等邊三角形，AB=2，O，D分別是AB，PB的中點．
（1）求證：OD∥平面PAC；
（2）求證：平面PAB⊥平面ABC；
（3）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證OD∥平面PAC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證OD與平面PAC內一直線平行，而OD∥PA，PA?平面PAC，OD?平面PAC，滿足定理條件；
（2）欲證平面PAB⊥平面ABC，根據面面垂直的判定定理可知在平面PAB內一直線與平面ABC垂直，而根據題意可得PO⊥平面ABC；
（3）根據OP垂直平面ABC得到OP為三棱錐P-ABC的高，根據三棱錐的體積公式可求出三棱錐P-ABC的體積．
解答：證明（Ⅰ）∵O，D分別為AB，PB的中點，
∴OD∥PA
又PA?平面PAC，OD?平面PAC
∴OD∥平面PAC．
（Ⅱ）連接OC，OP∵，O為AB中點，AB=2，
∴OC⊥AB，OC=1．
同理，PO⊥AB，PO=1．
又，
∴PC²=OC²+PO²=2，
∴∠POC=90°．
∴PO⊥OC．
∵PO⊥OC，PO⊥AB，AB∩OC=O，
∴PO⊥平面ABC．PO?平面PAB
∴平面PAB⊥平面ABC．
解（Ⅲ）由（Ⅱ）可知OP垂直平面ABC，
∴OP為三棱錐P-ABC的高，且OP=1
∴．
點評：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定和三棱錐的體積的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現，值得重視．