Question

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，點D在邊BC上，AD⊥C₁D．

（1）求證：AD⊥平面BC C₁ B₁；

（2）設E是B₁C₁上的一點，當的值為多少時，

A₁E∥平面ADC₁？請給出證明．

Answer 1

（1）見解析（2）1

解析:

（1）在正三棱柱中，C C₁⊥平面ABC，AD平面ABC，

∴ AD⊥C C₁．

又AD⊥C₁D，C C₁交C₁D于C₁，且C C₁和C₁D都在面BC C₁ B₁內，

              ∴ AD⊥面BC C₁ B₁．  

（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中點．

當，即E為B₁C₁的中點時，A₁E∥平面ADC₁．

事實上，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，四邊形BC C₁ B₁是矩形，且D、E分別是BC、B₁C₁的中點，所以B₁B∥DE，B₁B= DE．

又B₁B∥AA₁，且B₁B=AA₁，

∴DE∥AA₁，且DE=AA₁．所以四邊形ADE A₁為平行四邊形，所以E A₁∥AD．

而E A₁面AD C₁內，故A₁E∥平面AD C₁．