Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長都等于a，D、E分別是AC₁、BB₁的中點，
（1）求證：DE是異面直線AC₁與BB₁的公垂線段，并求其長度；
（2）求二面角E-AC₁-C的大小；
（3）求點C₁到平面AEC的距離．

Answer 1

分析：（1）證明DE⊥AC₁，ED⊥BB₁，即可得到DE為AC₁和BB₁的公垂線，
（2）利用DE⊥平面AC₁，可得平面AEC₁⊥平面AC₁，從而可求二面角E-AC₁-C的平面角；
（3）用體積法，根據VA-CEC1=VC1-AEC，可求點C₁到平面AEC的距離．

解答：（1）證明：過D在面AC₁內作FG∥A₁C₁分別交AA₁、CC₁于F、G，
則面EFG∥面ABC∥面A₁B₁C₁，
∴△EFG為正三角形，D為FG的中點，ED⊥FG．
連AE，C₁E
∵D、E分別為AC₁、BB₁的中點，
∴AE=EC₁，DE⊥AC₁．
又∵面EFG⊥BB₁，
∴ED⊥BB₁，故DE為AC₁和BB₁的公垂線，
∵EC1=

5

2

a，DC1=

2

2

a，∴DE=

3

2

a．
（2）由（1）可得DE⊥平面AC₁，∴平面AEC₁⊥平面AC₁，∴二面角E-AC₁-C為90°．
（3）設點C₁到平面ACE的距離為h
在△AEC中，AE=CE=

5

2

a，AC=a，∴S△AEC=

1

2

×a×a=

1

2

a2
∵VA-CEC1=

1

3

×

1

2

×a×a×

3

2

a，VA-CEC1=VC1-AEC
∴

1

3

×

1

2

×a×a×

3

2

a=

1

3

×

1

2

×a2h
∴h=

3

2

a
∴點C₁到平面ACE的距離為

3

2

a．

點評：本題綜合考查線面、線線、面面垂直，考查體積法求點到面的距離，熟練運用線面垂直的判定定理是解題的關鍵．