Question

設，函數．

（1）若，求函數在區間上的最大值；

（2）若，寫出函數的單調區間（不必證明）；

（3）若存在，使得關于的方程有三個不相等的實數解，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）9（2）單調遞增區間是和，單調遞減區間是（3）

【解析】（1）當，時，

作函數圖像（圖像略），可知函數在區間上是增函數，所以的最大值為．…………（4分）

（2）……（1分）

①當時，，

因為，所以，

所以在上單調遞增．…………（3分）

②當時，，

因為，所以，所以在上單調遞增，在上單調遞減．…………（5分）

綜上，函數的單調遞增區間是和，

單調遞減區間是．………………（6分）

（3）①當時，，，所以在上是增函數，關于的方程不可能有三個不相等的實數解．…………（2分）

②當時，由（1）知在和上分別是增函數，在上是減函數，當且僅當時，方程有三個不相等的實數解．

即．…………（5分）

令，在時是增函數，故．…………（7分）

所以，實數的取值范圍是．…………（8分）