Question

【題目】若圓上一點A（2，3）關于直線x+2y＝0的對稱點仍在圓上，且圓與直線x﹣y+1＝0相交的弦長為2則圓的方程是_____．

Answer 1

【答案】(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.

【解析】

設出圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由圓上的點關于直線的對稱點還在圓上得到圓心在這條直線上，設出圓心坐標，代入到x+2y＝0中得到①；把A的坐標代入圓的方程得到②；由圓與直線x﹣y+1＝0相交的弦長為2，利用垂徑定理得到弦的一半，圓的半徑，弦心距成直角三角形，利用勾股定理得到③，三者聯立即可求出a、b和r的值，得到滿足題意的圓方程．

設所求圓的圓心為（a，b），半徑為r，

∵點A（2，3）關于直線x+2y＝0的對稱點A′仍在這個圓上，

∴圓心（a，b）在直線x+2y＝0上，

∴a+2b＝0，①

（2﹣a）2+（3﹣b）2＝r2．②

又直線x﹣y+1＝0截圓所得的弦長為2，

圓心（a，b）到直線x﹣y+1＝0的距離為d，

則根據垂徑定理得：r2﹣（）2＝（）2③

解由方程①、②、③組成的方程組得：

或

∴所求圓的方程為（x﹣6）2+（y+3）2＝52或（x﹣14）2+（y+7）2＝244．

故答案為：(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.